Cuantificadores, Intercambio de

Cuantificadores, Intercambio de. Las reglas de cuantificación [v. cuantificación, reglas de] no pueden ser empleadas si el cuantificador está negado (Ejemplos: -(x) Px (no todas las x tienen la propiedad P) o -(x) Rx (no todas las x son R). Si no es posible realizar especificaciones universales o existenciales, es imposible proporcionar una prueba de validez. Así la expresión "Ningún hombre es racional" tiene su estructura lógica "-(3x) (Hx & xR)" es equivalente intuitivamente a "Todos los Hombres son no racionales" "(x) (Hx --> -Rx) (Para toda x, si x es H, (Hombre), entonces x es no R (racional)". Pero es posible demostrar la equivalencia de las fórmulas que contienen cuantificadores. Podemos suponer que el cáculo cuantificacional es posible establecerlo con un sólo cuantificador: (3x) Px (Existe al menos una x tal que x es P) Así, empleando el signo primitivo "-" Negación es posible definir el cuanticador universal "-(3x) -Px" (no existe ninguna x tal que x no sea P), es decir, todas las x son P "(x) Px". Es posible deducir la fórmula lógica equivalente intercambiando cuantificadores.

1. (x) (Px --> Qx)                  Premisa

/// -(3x) (Px & -Qx)               Hipótesis-conclusión.

2) -(3x) - (Px --> Qx)            Intercambio de cuantificador.

3) -(3x) - (-Px v Qx)             Implicación material línea 2

4) -(3x) ( - - Px & - Qx)        T. de De Morgan línea 3.            

5) -(3x) (Px & -Qx)              Doble negación línea 4. Por tanto, la hipótesis conclusión queda debidamente demostrada.  Así, el intercambio de cuantificadores funciona de la misma manera que la equivalencia:

1 -(x) Px                     Una fórmula con un cuantifidador universal, es     -------           posible deducir su equivalencia lógica con el 2

(3x) Px                      intercambio de cuantificadores a una fórmula con                                                           cuantificador existencial.

1 -(3x) Px                  Una fórmula con un cuantificador existencial

-------                           negado, es posible deducir su equivalencia lógica 2

(x) - Px                      con el intercambio de cuantificador a una fórmula                                                           con cuantificador universal. Como son equivalencias en ambos caso es posible intercambiar cuantificadores de 1 a 2 y también de 2 a 1.  En el ejemplo de deducción, sólo se invierte el orden donde el 5 es la premisa y 1 es la hipótesis conclusión.