Demostración Condicional Reforzada, regla de
Demostración Condicional Reforzada, regla de. Se adoptará un nuevo método de escritura de las demostraciones que utilizan el método condicional.
1) A ‑‑> b
... A ‑‑> (a & b)
-2) a supuesto
| 3) b 1,2 m.P.
4) a & b 2,3 conjunción
5) a ‑‑> (a & b) 2,3,4, R.D.C.
Este renglón se infiere de la secuencia 2, 3, 4 que constituyen una deducción válida del renglón 4 a partir de los renglones 1 y 2. Esta inferencia se justifica notando la secuencia de renglones a los que se recurre, y usando las letras R.D.C. para demostrar que se está usando el principio de demostración condicional. La segunda de las demostraciones en el renglón 2 ‑la hipótesis‑ tiene a los renglones 3 y 4 como dependientes. El renglón 5 no depende del renglón 2, sino del renglón 1. El 5 está fuera del alcance [v Cuantificador, alcance del] del supuesto que se hace en 2. Nunca debe extenderse el alcanza hasta el último reglón. Se introduce una notación para seguir la pista de los supuestos y sus alcances. Se usará una flecha doblada. Solamente un renglón inferido por el principio de demostración condicional termina el alcance de un supuesto, y que todo uso de la regla de demostración condicional [R.D.C.] Sirve para determinar el alcance de un supuesto. Cuando se ha terminado el alcance de un supuesto, se dice que el supuesto ha sido liberado y ningún renglón subsecuente podrá justificarse con referencia al supuesto o con referencia a ningún renglón que se encuentre entre el mismo y el renglón inferido por la regla de demostración condicional que lo libera. Después de haber liberado un supuesto de alcance limitado puede hacerse otro supuesto semejante y liberársele después. O también puede hacerse otro supuesto de alcance limitado dentro del alcance del primero. Si el alcance de un supuesto no se extiende hasta el final de una demostración, entonces el renglón final de la demostración no depende de ese supuesto, sino que se ha demostrado que se sigue de las premisas originales. Cualquier proposición puede tomarse como supuesto de alcance limitado, pues el renglón final que es la conclusión estará siempre más allá de su alcance y será independiente del mismo.
1. (a v b) ‑‑> [(c v d) ‑‑> e]
... a ‑‑> [(c & d) ‑‑> e]
--> 2. a. 3. a v b 2. Adición
| 4. (c v d) ‑‑> e 1,3 mp
| -> 5. c & d
| | 6. c 5 simplificación
| | 7. c v d 6 adición
| | 8. e 4,7 mp
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| 9. (c & d) --> e 5-8 R.D.C.
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10. a ‑‑> [(c & d) ‑‑> e] 2‑9 c.P.
En una demostración condicional de validez, el alcance de cada premisa original se extiende hasta el final de la demostración. Las premisas originales pueden complementarse agregando supuestos adicionales siempre que los alcances de éstos últimos sean limitados y no se extiendan hasta el final de la demostración. Cada renglón de una demostración formal de validez debe ser o una premisa o un supuesto de alcance limitado, o debe seguirse válidamente a partir de uno o dos renglones precedentes por una regla de inferencia, o debe seguirse de una secuencia de renglones que le preceda por el principio de demostración condicional. La R.D.C. puede emplearse tanto el cálculo proposicional como cuantificacional.
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